Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды (рисунок 5), где с плотностью ρ = 1.

Решение. Очевидно, в силу симметрии, . Чтобы найти координату центра масс , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды. Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем Вычислим момент первого порядка My. Используя формулу находим

Тогда Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны .

 

Задания для аудиторной работы

1 Проверить, зависят ли следующие криволинейные интегралы от пути интегрирования:

а) ;

б) ;

в) .

2 Применив формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:

а) , ;

б) ,  – треугольник с вершинами , , ;

в) , ;

г) , где  – замкнутый контур, ограниченный дугой параболы   и отрезком прямой  между точками   и .

3 Вычислить криволинейный интеграл, предварительно определив функцию , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение:

а) ;

б) .

Физические приложения двойных интегралов

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.