Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Определить массу проволоки, имеющей форму дуги окружности от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью (рисунок 4).

Решение. Окружность радиусом 1 с центром в начале координат описывается параметрическими уравнениями где параметр t изменяется в диапазоне . Тогда масса данного куска проволоки вычисляется следующим образом:

Рис.4
Рис.5

Пример 1

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой x=2 и осью OX

Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью OX

или

т.к. парабола симметрична относительной прямой x=1, то площадь заштрихованной фигуры можно найти так :

Определение вычета. Вычисление вычетов.

Определение: Пусть ф-ция f(z) имеет изолированную особую точку z0 тогда поместим z0 внутрь контура g тогда 

 - вычет функции f(z) в точке z0 и обозначается

Выч[f(z),z0]=res[f(z),z0]

Теор: Вычет функции res[f(z),z0]=C-1 в разложении этой функции в окрестности этой точки z0 т.е

Док-во: Интеграл по любому замкнутому контуру – одинаков. Выбираем окрестность радиуса r тогда 

Формулы:

1) полюс первого порядка:

lim f(z)(z-z0)=C-1 при zàz0

Если f(z)=j(z)/y(z) при этом j(z0) ≠0 j (z) =(z-z0)y1(z)

y(z)=y’(z0)(z-z0)+y’’(z0)(z-z0)2/2!+…

2)полюс n-го порядка

Физические приложения двойных интегралов

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.