Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

Пример Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

Решение. Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB. где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна

4 Вычислить , если – прямоугольник

.

Решение. Относительно переменных  и  интегралы  и  табличные, поэтому двойной интеграл сведем к следующему повторному:

.

5 Вычислить , где  – область, ограниченная параболой   и прямой .

Решение. Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Получаем точки:  и

Итак, снизу область ограничена параболой , сверху – прямой :

.

Отсюда получаем:

.

Контрольная работа №7

Вариант 2.

Задание 1: Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

р)

с)

т)

у)

ф)

 

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

а)

б)

Задание 3: Вычислить:

а)  площадь фигуры, заключенной между кривой  и осью ;

б) длину дуги кривой  в пределах от  до ;

в) объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми 

Контрольная работа №7

Вариант 3.

Задание 1: Вычислить интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

р)

с)

т)

у)

ф)

 

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

Физические приложения двойных интегралов

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.