Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и . Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной. Если векторное поля задано в координатной форме в виде то работа поля вычисляется по формуле В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула где . Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид где t изменяется в интервале от α до β. Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой где − потенциал поля.

Рис.1		Рис.2

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.