Физические приложения криволинейных интегралов
Работа поля
Работа при перемещении тела в силовом поле
вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода
где
− сила, действующая на тело,
− единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение
означает скалярное произведение векторов
и
. Заметим, что силовое поле
не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы
иногда может оказаться отрицательной. Если векторное поля задано в координатной форме в виде
то работа поля вычисляется по формуле
В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула
где
. Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид
где t изменяется в интервале от α до β. Если векторное поле
потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой
где
− потенциал поля.
Рис.1 Рис.2
Физические приложения двойных интегралов |
Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалентную ей
систему с матрицей :
За базисный минор возьмем минор, стоящий в
левом верхнем углу матрицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных
.Тогда, придавая оставшимся переменным
любые значения, неизвестные
можно получить единственным образом. Чтобы
найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных,
такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.
получим
и вектор решений
. Затем, аналогично, взяв
, получим
.
Общее решение однородной системы имеет вид
, где
и
- произвольные числа.