Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами. Масса кривой Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции , то ее масса описывается формулой В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как или в параметрической форме Центр масс и моменты инерции кривой Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами где − так называемые моменты первого порядка. Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

2) Достаточность.

Пусть U и V – дифференцируемы в точке (x0,y0) и верна система (*).

Согласно системе (*) первые две скобки в последнем выражении равны. С учётом этого перепишем:

Учитывая, что , перепишем последнее выражение.

Формула нахождения производной:

Физические приложения двойных интегралов

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.