Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения двойных интегралов

Пример Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (рисунок 2) и имеющего плотность .

Решение. Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox. Аналогично вычислим момент инерции относительно оси Oy.

Пример Электрический заряд по площади диска таким образом, что его поверхностная плотность равна . Вычислить полный заряд диска.

Решение. В полярных координатах область, занятая диском, описывается множеством . Полный заряд будет равен

9 Найти центр масс равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке поверхностная плотность пропорциональна расстоянию ее до гипотенузы. Найти момент инерции данного треугольника относительно его гипотенузы.

Решение. Пусть в прямоугольном равнобедренном треугольнике  гипотенуза   (рисунок 3. 7).

Рисунок 3. 7 – Рисунок для типового примера 10

Тогда относительно системы координат  уравнения катетов  и  будут  и . Согласно условию задачи в точке  треугольника  плотность имеет вид .

По формуле (3.9) для массы получим:

.

По формулам (3.10) находим статические моменты:

;

.

Координаты центра тяжести находятся по формулам (3.11):

, .

Момент инерции относительно гипотенузы  представляет собой . Поэтому по формуле (3.12) получим:

.

Физические приложения двойных интегралов

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.