Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Физические приложения двойных интегралов

Масса и статические моменты пластины Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy : Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами Для однородной пластины с плотностью для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. Моменты инерции пластины Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy : Полярный момент инерции пластины равен Заряд пластины Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением Среднее значение функции Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой

где − площадь области интегрирования R.

Физические приложения двойных интегралов

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

 За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.