Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Определить, является ли потенциальным векторное поле ? Если да, найти его потенциал.

Решение. В данном случае . Вычислим ротор заданного поля. Следовательно, поле потенциально. Чтобы найти его потенциал, проинтегрируем по переменной x. В последнем выражении переменные y и z рассматривались как константы. Теперь продифференцируем потенциал u по переменной y и приравняем к Q. Из последней формулы видно, что . Для определения G (y,z) проинтегрируем последнее соотношение по y и добавим как постоянную функцию H (z). Таким образом, потенциал имеет вид Наконец, Полагая равным , находим Окончательный ответ: где С0

− произвольная постоянная.

Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость  проектируется на эту плоскость в виде прямой

х = 0):

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:

 посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

  (19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

 

 

  (20)

 

 (21)

 где γ (х, y, z) – плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

 (22)

9) Координаты центра масс тела:

 

  (23)

 

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.