Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Решим интеграл с помощью тригонометрической подстановки Учитывая, что находим интеграл:

Пример Найти интеграл .

Решение. Сделаем следующую подстановку: В результате интеграл записывается в виде Разложим подынтегральное выражение на сумму дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Вычислим коэффициенты A, B, C. Следовательно, Интеграл равен

6 Найти объем тела, ограниченного поверхностями

, , , .

Решение. Данное тело представляет собой вертикальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости , снизу – частью плоскости, заключенной между параболой  и прямой  (рисунок 3. 6).

Тогда по формуле (3.8) получим:

.

Свойства интеграла от функции комплексного переменного.

c+ - обход контура в прямом направлении, с- - в противоположном.

1°.

2°."с1,с2:

3°. "aÎC:

4°.

5°. Если функция ограничена на кривой, т.е. |f(z)|£M ("zÎC) и l – длина кривой, то , т.к.

6°.

7°. Если с – гладкая, т.е. z=z(t) имеет непрерывную производную, то , где a£t£b, z(a)=A, z(b)=B.

 

Физические приложения двойных интегралов

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :