Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Определить, является ли векторное поле потенциальным?

Решение. Поскольку P = yz, Q = xz и R = xy, то ротор поля равен Следовательно, поле потенциально.

Пример Определить, является ли векторное поле потенциальным? Если да, то найти его потенциал.

Решение. Компоненты векторного поля равны . Легко видеть, что Таким образом, данное поле потенциально. Чтобы найти потенциал, сначала проинтегрируем по отношению к x. Теперь определим C(y), приравнивая производную к Q (x,y). Следовательно, . Тогда где С1 − произвольная постоянная, и потенциал поля имеет вид

П.2.Криволинейные интегралы второго рода

 Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками  на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.

 ; 

 Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В (24.4).

 (24.4)

 Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение функции при составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ).

 Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по переменным у и z.

 Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго рода.

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.