Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.

Решение. Поскольку компоненты векторного поля и их частные производные непрерывны и условие потенциальности поля выполнено, то данное векторное поле потенциально и, следовательно, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Заметим, что то есть потенциал поля равен . Тогда по формуле находим значение интеграла

5 Найти площадь части конуса , заключенной внутри цилиндра .

Решение. Из уравнения конуса имеем

, .

Проекцией поверхности на плоскость  является круг, ограниченный окружностью  (рисунок 3. 5).

Тогда по формуле (3.7) площадь поверхности равна

=

Рисунок 3. 5 – Рисунок для типового примера 6

Рисунок 3. 6 – Рисунок для типового примера 7

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.