Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования: 1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1); 2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).

Решение. Рассмотрим первый случай. Очевидно, уравнение прямой имеет вид y = x. Тогда, используя формулу получаем Для случая, когда путь AB является параболой , мы имеем то есть мы получили тот же самый ответ. Применим признак для проверки поля на потенциальность. Таким образом, векторное поле является потенциальным, что и объясняет независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Вопросы для самоконтроля

1 Какие координаты называются криволинейными?

2 Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле.

3 Чему равен якобиан при переходе от декартовых координат к полярным?

4 Какие геометрические приложения имеет двойной интеграл?

5 Перечислите, при вычислении каких физических величин используется двойной интеграл.

Решение типовых примеров

1 Вычислить интеграл  по области

.

Решение. Область  представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций , , ,  (рисунок 3. 2, а).

Рассмотрим непрерывно дифференцируемое при  отображение вида:

, . (3.14)

Образом области  является квадрат (рисунок 3. 2, б)

.

Данное отображение является взаимно однозначным, поскольку уравнения (3.14) разрешимы относительно  и :

, .

Рисунок 3. 2 – Области  (а) и  (б) для типового примера 1

Найдем якобиан отображения6

.

Тогда

.

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.