Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Определения Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция , такая, что В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение Векторное поле, обладающее свойством , называется потенциальным, а функция называется потенциалом. Признак потенциальности поля Криволинейный интеграл II рода от функции не зависит от пути интегрирования, если Предполагается, что каждый компонент функции имеет непрерывные частные производные по переменным x, y и z. Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости Oxy, то в случае потенциального поля будет справедливо соотношение В этом случае признак потенциальности векторного поля упрощается и принимает вид Рассмотренный признак является необходимым, но, вообще говоря, не достаточным для потенциальности поля. Данное условие достаточно, если только область интегрирования D односвязна.

Лемма Жордана. Пременение леммы Жордана к вычислению несобственных интегралов.

Лемма Пусть функция f(z) явл-ся анал в верх полупл Imz>0 за искл кончен числа изолир особ точек и равном отн-но argz (0≤z≤π) стрем-ся к 0 при |z|→∞ тогда при a>0 (*) где C’R – дуга полуокр |z|=R в вех полупл.

Док-во: Условие равном стремл f(z) к нулю означ что |z|=R имеет место |f(z)|<μR где μR→0 при R→∞ с пом этого оч=ценим иссл интегр. сделаем замену z=Reiφ и восп очев соотн sinφ≥2φ/π при 0≤φ≤π/2 тогда получим  =  <  что и доказ лемму. Зам Если a>0 а ф-ция f(z) удовл усл леммы Ж в ниж полупл то формула (*) имеет место при интегр по дуге полуокр C’R в ниж полупл. Аналог утв имеют место (при a=±ia, a>0) при инт соотв в прав (Rez≥0) и лев (Rez≤0) полупл. док-ва пров-ся сов аналогично. форма леммы Жорд при инт в прав. =0 a>0;

Трм Пусть f(z) зад-я на всей действ оси м.б. продолж на верх полупл Imz≥0 а ее анал продолж f(z) в верх полупл удовл усл леммы Жорд и не имеет ос точ на деств оси. Тогда сущ инт , a>0; где zk – особ точки f(z) в верх полупл.

Д-во По усл трм zk удовл усл |zk|<R0 рассм в верх полупл замк контур сост из отр [-R, R] R>R0 и дуги C’R окр-ти |z|=R в верх полупл. По ос трм теор выч  по лемме Ж предел второг слаг в лев части при R→∞ равен 0 отсюда и след утв трм.

Зам Если f(x) чет (нечет) и удовл усл трм и a>0 то   

Пример Выч инт I =  чтобы иметь возм восп лемЖ, заметим что I=ReI1=Reанал прод подинт ф-ции  удовл усл трм и имеет в верх полупл ед осб точку z1=ia, явл полсом 1 пор. Знач, I1= отсюда I = ReI1 = (π/a)e-aa;

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.