Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Теорема Остроградского-Гаусса

Пример Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3 (рисунок 4).

Решение. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:

Пример Найти интеграл , где S − внешняя поверхность пирамиды (рисунок 5).

Решение.
Рис.5
Рис.6

Применяя формулу Остроградского-Гаусса можно записать искомый поверхностный интеграл в виде Вычислим тройной интеграл. Область интегрирования в плоскости xy показана на рисунке 6. Полагая z = 0, получаем Следовательно, область D можно представить в виде множества Решая неравенство относительно переменной z, получаем Тогда интеграл равен

Условия Коши-Римана в полярных координатах. Формула вычисления производной. Пример: степенная функция.

, где

.

Для дифф-ти функция f(z) в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы

1) U и V были дифференцируемы в точке

2) в этой точке выполнялись условия:

- условия Коши-Римана дифф-ти в полярных координатах.

Трм.:(Формула вычисления производной)

Если функция  дифференцируема в точке z0, то её производную можно вычислить по формуле

Док-во:

Пример: Степенная функция с произвольным показателем.

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.