Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Теорема Остроградского-Гаусса

Пример Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.

Решение. Данное тело схематически изображено на рисунке 2. Применяя теорему Остроградского-Гаусса, можно записать Переходя к цилиндрическим координатам, получаем

Пример Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S является поверхностью тетраэдра с вершинами O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (рисунок 3).

Решение. По формуле Остроградского-Гаусса, Вычислим полученный тройной интеграл. Уравнение прямой AB имеет вид А уравнение плоскости ABC равно Находим значение интеграла:
Рис.3
Рис.4

Неопределенный интеграл. Теорема и определение. Формула Ньютона-Лейбница.

Трм.: Пусть f(z) определена и непрерывна в односвязной области G, и интеграл по любому замкнутому контуру от этой функции f(z) равен нулю. Тогда функция от z:  является аналитической в области G, и её производная Ф'(z) = f(z) (когда ставят значение верхнего предела).

Док-во: Дадим приращение: z, z+Δz, и вычислим

Оценим разность:

А это значит, что , т.е. доказали существование производной.

Определение: Аналитическая функция F(z) называется первообразной (или неопределённым интегралом) для функции f(z) в области G, если в этой области имеет место равенство: F'(z)=f(z).

Трм. (Формула Ньютона-Лейбница): Если функция f(z) – односвязная в аналитической области G, то у неё в этой области существует первообразная, и для любых точек z1 и z2 Î G имеет место формула: , где Ф(z) – одна из первообразных f(z).

Док-во: По трм. интеграл по любому замкнутому контуру в G равен 0, значит  - является первообразной. Если F1(z) и F2(z) – различные первообразные для функции f(z), то F2(z) - F1(z) = const в G. Если рассмотреть функцию , то  в G. Пусть , тогда , но тогда .

. Любая другая первообразная отличается на константу C.

Ф(z)=F(z)+C1;

Ф(z2)- Ф(z1)=F(z2)+C1-F(z1)-C1= F(z2)-F(z1)

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.