Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Теорема Остроградского-Гаусса

Пример Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1 (рисунок 1).

Решение. В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса, Вычисляя в цилиндрических координатах, получаем ответ:
Рис.1
Рис.2

4 Вычислить , если область  ограничена окружностью .

Решение. Преобразуем уравнение окружности:

; .

Область  представляет собой окружность с центром в точке  и радиусом  (рисунок 3. 4).

Переходя к полярным координатам

, , ,

получаем уравнение окружности:

    .

Отсюда , т. е.

.

Рисунок 3. 4 – Область  для типового примера 5

Тогда

.

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.