Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные. Согласно формуле Остроградского-Гаусса, где через обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности. Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами. Данную формулу можно записать также в координатной форме: В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

Пример Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Решение. Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно записать Вычислим полученный тройной интеграл в сферических интегралах.

Теория поля

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор

  (53)

называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Пусть дано векторное поле . Интеграл

  (54)

называется линейным интегралом от вектора  вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора  вдоль кривой L.

Пример 9.

Вычислить циркуляцию векторного поля  по контуру Г, состоящему из частей линий  (направление обхода положительно).

Решение.

Воспользуемся формулой Грина:

Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

  (55)

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S  G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

 

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.