Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Криволинейные интегралы второго рода

Пример Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .

Решение. Запишем все выражения через параметр t: Далее, используя формулу можно записать

Пример Найти интеграл вдоль линии C, представляющей собой отрезок прямой от точки A (1,1,1) до точки B (2,3,4) (рисунок 7).

Решение. Сначала составим уравнение прямой AB. Введем параметр t: и перепишем уравнение прямой в параметрической форме: Далее применяем формулу Очевидно, что параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда криволинейный интеграл равен
Рис.7

4) Если фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , прямыми x=a и x=b и , тогда ее площадь находится по формуле:

 

5) Если фигура имеет сложную форму, то прямыми , параллельными оси OY , ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Физические приложения двойных интегралов

В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.

Задача 5. Решить систему:

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.