Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Криволинейные интегралы второго рода

Пример Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале (рисунок 4).

Решение. Поскольку , то дифференциал равен . В соответствии с формулой находим решение

Пример Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга окружности, лежащая в первом квадранте, обход которой осуществляется против часовой стрелки (рисунок 5).

Решение. Очевидно, что дуга окружности описывается функцией , a − радиус окружности. (Мы взяли положительное значение корня, поскольку y > 0 в первом квадранте.) Тогда дифференциал равен Поскольку мы обходим кривую в направлении против часовой стрелки, то верхний и нижний пределы интегрирования равны, соответственно, a и 0. Следовательно,
Рис.5
Рис.6

Первообразная аналитической функции (теорема и определение).

Трм.: Пусть f(z) определена и непрерывна в односвязной области G, и интеграл по любому замкнутому контуру от этой функции f(z) равен нулю. Тогда функция от z:  является аналитической в области G, и её производная Ф'(z) = f(z) (когда ставят значение верхнего предела).

Док-во: Дадим приращение: z, z+Δz, и вычислим

Оценим разность:

А это значит, что , т.е. доказали существование производной.

Def.: Аналитическая функция F(z) называется первообразной (или неопределённым интегралом) для функции f(z) в области G, если в этой области имеет место равенство: F'(z)=f(z).

Физические приложения двойных интегралов

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу.

 Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:

.

  Решение. В плоскости  уравнение  задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны , а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство  указывает, что берется часть этой поверхности, ограниченная плоско­стями  и .