Тригонометрические и гиперболические подстановки
Пример Вычислить интеграл
Решение. Запишем интеграл в следующем виде:.
Сделаем подстановку
В результате получаем:
![]()
Пример Вычислить интеграл
.
Решение. Поскольку
, мы можем записать
Следовательно,
и интеграл преобразуется следующим образом:
Сделаем подстановку
. Далее используем соотношение
Тогда
![]()
Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости) Если функция
интегрируема на области
, то она ограничена на этом множестве.
Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости) Если функция
непрерывна в области
, то она интегрируема в этой области.
Теорема 3 (критерий интегрируемости Дарбу) Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в замкнутой области
, необходимо и достаточно, чтобы для любого
нашлось такое
, что для любого разбиения
с мелкостью
выполнялось неравенство
.
Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой на множестве
функции
предел интегральных сумм существует и не зависит от разбиения области на части. Поэтому, не ограничивая общности, можно разбивать область интегрирования
на части прямыми, параллельными координатным осям (рисунок 2. 2). Тогда
. Учитывая, что
, можно записать:
.
Рисунок 2. 2 – Разбиение области
на части прямыми,
параллельными координатным осям
Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла:
–
, где
– площадь области
;
– (линейность) если
и
– произвольные постоянные числа, функции
и
интегрируемые в области
, то функция
тоже интегрируема в
и справедливо равенство:
;
– (аддитивность) если область
является объединением областей
и
, не имеющих общих внутренних точек, на каждом из которых
интегрируема, то функция
также интегрируема в области
и справедлива формула:
;
– если в области
имеет место неравенство
, то справедливо неравенство
;
– (монотонность) если
и
интегрируемы в области
и
в любой точке
, то
;
– если функция
непрерывна в замкнутой области
, площадь которой
, то
,
где
и
– соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции на множестве
;
– (теорема о среднем) если функция
непрерывна в области
, площадь которой
, то существует такая точка
, что выполняется неравенство:
;
– произведение интегрируемых в области
функций есть интегрируемая функция;
– если функция
интегрируема в области
, то функция
интегрируема в
и справедливо неравенство:
.
Физические приложения двойных интегралов |
Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.
Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка .
Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое
уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.
Решение.
Выполняем поворот осей по формулам ;
. Подставим эти выражения для
и
в исходное уравнение и выделим коэффициент при
: