Вычислить интеграл Задачи и примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Запишем интеграл в следующем виде: Сделаем подстановку В результате получаем:

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Поскольку , мы можем записать Следовательно, и интеграл преобразуется следующим образом: Сделаем подстановку . Далее используем соотношение Тогда

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости) Если функция   интегрируема на области , то она ограничена на этом множестве.

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости) Если функция   непрерывна в области , то она интегрируема в этой области.

Теорема 3 (критерий интегрируемости Дарбу) Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема в замкнутой области , необходимо и достаточно, чтобы для любого  нашлось такое , что для любого разбиения  с мелкостью  выполнялось неравенство .

Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой на множестве  функции  предел интегральных сумм существует и не зависит от разбиения области на части. Поэтому, не ограничивая общности, можно разбивать область интегрирования  на части прямыми, параллельными координатным осям (рисунок 2. 2). Тогда . Учитывая, что , можно записать:

.

Рисунок 2. 2 – Разбиение области  на части прямыми,

параллельными координатным осям

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла:

– , где  – площадь области ;

– (линейность) если и  – произвольные постоянные числа, функции   и  интегрируемые в области , то функция  тоже интегрируема в   и справедливо равенство:

;

– (аддитивность) если область  является объединением областей  и , не имеющих общих внутренних точек, на каждом из которых  интегрируема, то функция  также интегрируема в области  и справедлива формула:

;

– если в области  имеет место неравенство , то справедливо неравенство

;

– (монотонность) если  и  интегрируемы в области  и  в любой точке , то

;

– если функция  непрерывна в замкнутой области , площадь которой , то

,

где  и  – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции на множестве ;

– (теорема о среднем) если функция  непрерывна в области , площадь которой , то существует такая точка , что выполняется неравенство:

;

– произведение интегрируемых в области  функций есть интегрируемая функция;

– если функция  интегрируема в области , то функция   интегрируема в  и справедливо неравенство:

.

 

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :