Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Криволинейные интегралы второго рода

Пример Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3 ниже).

Решение. Используем формулу Подставляя и в подынтегральное выражение, находим ответ:

Пример Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1) (рисунок 3).

Решение. Если , то по формуле получаем
Рис.3
Рис.4

Рассмотрим несколько случаев расположения плоских фигур в декартовой системе координат:

1) Если функция f(x) > 0 на отрезке [a; b] (т.е. кривая y=f(x) расположена над осью OX), тогда площадь криволинейной трапеции будет равна:

2) Если функция f(x) < 0 на отрезке [a;b] т.е. кривая y=f(x) расположена под осью OX , то площадь криволинейной трапеции находится по формуле:

3) Если фигура, ограниченная кривой y=f(x) осью OX и прямыми x=a , x=b расположена по обе стороны от оси OX, т.е. часть криволинейной трапеции расположена осью OX, а другая часть под осью OX, тогда площадь заштрихованной фигуры равна сумме двух площадей:

Физические приложения двойных интегралов

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу.

 Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:

.

  Решение. В плоскости  уравнение  задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны , а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство  указывает, что берется часть этой поверхности, ограниченная плоско­стями  и .