Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Криволинейные интегралы второго рода

Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Решение. Используя формулу находим ответ:

Пример Найти интеграл вдоль кривой C, заданной уравнением , от точки (0,0) до (2,8).

Решение. Для вычисления данного криволинейного интеграла воспользуемся формулой Подставляя и в подынтегральное выражение, получаем

4 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, предварительно изобразив на рисунке область интегрирования:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е).

Задания для домашней работы

1 Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику:

а) , ;

б) , .

2 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл  от функции , непрерывной в указанной области:

а)  ограничена линиями , ,  ограничена линиями , ,  (, );

б)  определена неравенствами , .

3 Вычислить интегралы:

а) ,  ограничена неравенствами , ;

б) ,  ограничена линиями , , ;

в) ,  ограничена линиями , ;

г) ,  ограничена линиями ,;

д) ,  ограничена линиями , , ;

е) ,  ограничена линиями , , ;

ж) , где  – треугольник : , , .

Физические приложения двойных интегралов

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу.

 Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:

.

  Решение. В плоскости  уравнение  задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны , а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство  указывает, что берется часть этой поверхности, ограниченная плоско­стями  и .