Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Криволинейные интегралы второго рода

Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1). В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz, соответственно.
Рис.1
Рис.2
Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как Таким образом, по определению, где − единичный вектор касательной к кривой C. Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме: где . Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем Свойства криволинейного интеграла второго рода Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:
  • Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда
  • Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то
  • Если кривая C задана параметрически в виде , то
  • Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0 и t = x), то последняя формула записывается в виде
  • Физические приложения двойных интегралов


    Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

     Решим конкретную задачу.

     Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:

    .

      Решение. В плоскости  уравнение  задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны , а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство  указывает, что берется часть этой поверхности, ограниченная плоско­стями  и .