Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Криволинейные интегралы первого рода

Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Решение. Применяя формулу можно записать

Пример Вычислить криволинейный интеграл , где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5).

Решение. Найдем уравнение отрезка AB. По формуле находим данный интеграл
Рис.5
Рис.6

Свойства криволинейного интеграла второго рода:

 1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.

 2) 

 3)

 4)

 5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

 Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным.

 6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то

Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z.

Физические приложения двойных интегралов

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу.

 Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:

.

  Решение. В плоскости  уравнение  задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны , а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство  указывает, что берется часть этой поверхности, ограниченная плоско­стями  и .