Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Криволинейные интегралы первого рода

Пример Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .

Решение. Используем формулу Здесь Следовательно,

Пример Вычислить интеграл , где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше).

Решение. Найдем сначала уравнение отрезка OA. Применяя формулу находим искомый криволинейный интеграл.

Задания для аудиторной работы

1 Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику:

а) , ;

б) , .

2 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл  от функции , непрерывной в указанной области:

а)  ограничена линиями , ;

б)  определена неравенствами , .

3 Вычислить интегралы:

а) ,  ограничена линиями , ;

б) ,  ограничена линиями , , ;

в) ,  ограничена линиями , ;

г) ,  ограничена линиями , , ;

д) ,  ограничена линиями , ;

е) ,  ограничена линиями , ,  (первая четверть).

Физические приложения двойных интегралов

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу.

 Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:

.

  Решение. В плоскости  уравнение  задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны , а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство  указывает, что берется часть этой поверхности, ограниченная плоско­стями  и .