Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Повторные интегралы

Пример Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение. Область интегрирования относится к типу I (рисунок 3). Она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми или и или . Переменная x изменяется в интервале . Изменяя порядок интегрирования, исходный интеграл можно записать в виде суммы следующих двух повторных интегралов:
Рис.3

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

 1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

 

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

 

3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

 

4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то

 

5) Если в точках кривой АВ

,

 то

 

6) Справедливо неравенство:

 

7) Если f(x, y, z) = 1, то

 S – длина дуги кривой, l - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида где n- натуральное число.

 С помощью подстановки  функция рационализируется.

Тогда

 Пример.

 Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

  Проиллюстрируем это на примере.

Физические приложения двойных интегралов

Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.

 Решим конкретную задачу.

 Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:

.

  Решение. В плоскости  уравнение  задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны , а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство  указывает, что берется часть этой поверхности, ограниченная плоско­стями  и .