Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Повторные интегралы

Пример Вычислить .

Решение. Запишем повторный интеграл в виде Чтобы найти внутренний интеграл в квадратных скобках, сделаем замену: Если , то , и, соответственно, если , то . Тогда

Пример Вычислить .

Решение. Вычисляя внутренний интеграл, получаем Далее используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда Подставляя это, получаем Наконец вычислим последний интеграл: Окончательный ответ:

3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

Решение. Найдем координаты точек пересечения данных линий. Для этого решим систему:

  

   

Итак, имеем две точки пересечения  и .

Подставляя в формулу (3.6) вычисления площади, получим:

.

Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Следствия.

Определение:

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в некоторой точке z◦, то этот ряд сходится абсолютно для любого z, удовлетворяющего неравенству:

|z- z◦|<|z1- z◦|, более того |z-z◦|≤p<|z1-z◦|

Доказательство:

(1) - сходится

т.к. в точке z1 ряд сходится, то

≤М

=q<1, таким образом, неравенство (1) выполняется

Если |z-z◦|≤p|z1-z◦|, тогда

≤q1<q<1; ; Тогда (для любого z: |z-z◦|≤p)

 - сходится. Значит, ряд сходится равномерно.

Следствия:

1)Если степенной ряд расходится в точке z1, то он расходится для любого z: |z-z◦|>|z1-z◦|.

2)Для любого степенного ряда существует такое число R, что при |z-z◦|<R ряд сходится, а при |z-z◦|>R – расходится; R – радиус сходимости, |z-z◦| - круг сходимости.

3)Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции.

4)степенной ряд внутри круга сходимости можно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

5)коэффициенты степенного ряда Сk вычисляются по формуле:

Доказательство: Продифференцировать ряд k раз:

f(k)(z◦)=k!Ck+(k+1)!Ck+1(z-z◦)+…|z=z◦= k!Ck→(*)

6)радиус сходимости R определяется по формуле:

, где  при

Доказательство:

 , тогда будет сходится, т.е. это круг сходимости, т.е. это его радиус.

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.