Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем универсальную тригонометрическую подстановку Так как , получаем

Пример Вычислить интеграл . Решение. Сделаем подстановку Тогда интеграл равен

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Как и в предыдущих примерах, используем универсальную тригонометрическую подстановку Поскольку мы получаем

Решение типовых примеров

1 Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область  (рисунок 2. 3) ограничена линиями , , , .

Решение. Областью интегрирования является криволинейная трапеция, ограниченная сверху параболой , снизу – осью , справа – прямой , .

Если внутренний интеграл взять по , то  изменяется от 0 до , а  изменяется в пределах от 0 до :

.

Если внутренний интеграл взять по , то  изменяется от 0 до , а  изменяется в пределах от 0 до :

.

2 Представить двойной интеграл в виде повторного интеграла при разных порядках интегрирования по  и по , если область  ограничена линиями , ,  (рисунок 2. 4).

Решение. Областью интегрирования является треугольник с вершинами ; ; .

Рисунок 2. 3 – Область интегрирования для типового примера 1

Рисунок 2. 4 – Область интегрирования для типового примера 2

Если внутренний интеграл взять по , то область  рассмотрим как криволинейную трапецию, ограниченную слева прямой , справа – прямой ; снизу – прямой , сверху – прямой . Отсюда , . Поэтому пределы расставятся следующим образом:

Если внутренний интеграл будем брать по , то область  разбивается прямой   на две непересекающиеся области:

,

.

Используя свойство аддитивности интеграла, получим:

.

Физические приложения двойных интегралов

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :