Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Повторные интегралы

Пример Найти повторный интеграл .

Решение. Сначала вычислим внутренний интеграл и затем внешний.

Пример Найти повторный интеграл .

Решение. Здесь область интегрирования относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox). Вычисляя сначала внутренний интеграл по x, и затем внешний по y, получаем

3 Вычислить двойной интеграл  по области, ограниченной линиями , , .

Решение. Область интегрирования  состоит из двух непересекающихся областей  и  (рисунок 2. 5).

Рисунок 2. 5 – Область интегрирования

  для типового примера 3

Рассмотрим различный порядок интегрирования. Сначала вычислим внешний интеграл по переменной . В этом случае исходный интеграл сводится к вычислению двух интегралов по областям

,

.

Тогда

Изменив порядок интегрирования, получим:

.

Тогда

.

Ряд Лорана. Область сходимости РЛ, Трм о разложении анал.ф-ции в РЛ.

Ряд  (Р1), где z0 – фикс. Точка компл. пл-ти, сn – нек. компл.числа,  а суммир ведется по полож и по отриц числам индекса n, наз-ся рядом Лорана.

Установим обл. сх-ти Р1, предст: Р1= (Р2) Очев, что обл сх-ти Р1 – общ. часть обл-й сх-ти каждого из сл-х Р2. это  внутри этого круга, ряд сх-ся к нек. анал.ф-ции к.п. f1(z). для опр-я ОС ряда  сделаем замену . Т.о. этот ряд примет вид т.о. это обыч. степ ряд, сх-ся внутри своего круга сх-ти к ф-ции φ(z). Обозн-м РадиусС (РС) получ степ. ряда как 1/R2 тогда . Возвр-сь к старой перем. и полагая φ(z(z)) = f2(z) получим  Значит ОС  - внешняя обл. окр-ти . Т.о. каждый из степ. рядов Р2 сх-ся в ОС к соот. анал.ф-ции, если R2 < R1 то сущ общ ОС этих рядов – кольцо R2<|z-z0|<R1 в к-ром Р1 сх-ся к ан.в данн. кольце ф. f(z)=f1(z)+f2(z); если R2 > R1 то нет общ ОС и Р1 нигде не схся к ан.ф.

Трм о разложении анал.ф-ции в РЛ. Ф-ция f(z), анал в R2<|z-z0|<R1 однозн предст в этом кольце сх-ся РЛ.

Д-во: Фикс. произв. точку z внутри кольца и постр окр-ти СR’1 и СR’2, с центр в z0 и R2< R’2< R’1< R1 и R’2<|z-z0|<R’1 согл фор. Коши для многосв обл: ; на СR’1 вып-ся нер-во  поэтому предст-в как = и провед почл интегр (можно, в силу равном сх-ти ряда) получим гдет.к. на СR’2 вып-ся  то анал-но имеем после почл интегрир получим  где изм-в напр. инт. в посл. форм имеем ; заметим, что подинт ф-ции в выр для n и –n анал. в R2<|z-z0|<R1 поэтому в силу трм Коши знач соотв интегр не изм-ся при произв деформ контуров инт в обл анал-ти подинт ф-ций, тогда объединим где С – произв замк конт, леж в R2<|z-z0|<R1 и сод z0 внутри. Итак, тогда мы имеем =т.к. z-произв точка внутри кольца R2<|z-z0|<R1 имеем что этот ряд сх-ся к f(z) всюду внутри данн кольца, причем в замк кольце R2< |z-z0| <R1 ряд сх-ся равном. остается док-ть единст-ть разл-я. Предп-м есть другое разл где хотя бы один с’n≠cn тогда всюду внутри кольца имеем проведем СR c центром в z0 b R2<R<R1 ряды сх-ся на СR равн. Умножим их на (z-z0)-m-1 где m фикс цел и проинт почл.  = {z-zo=Reiφ }=  c учетом этого видно, что после указ интегр этих рядов, отл от нуля будут по одн. слаг в лев и прав частях, отсюда с’m=cm, а т.к. m- произв, это доказ единств. разл-я. Трм. док!

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.