Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Повторные интегралы

Области интегрирования I и II типа Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II. Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x (рисунок 1), и описывается множеством: Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y (рисунок 2), и описывается множеством:
Рис.1
Рис.2

Связь между двойными и повторными интегралами Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I: Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II: то справедливо соотношение Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

а)

б)

Решение:

а)  Несобственный интеграл I рода.

 

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

 - интеграл расходится.

б) Несобственный интеграл II рода.

 является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}

 - интеграл сходится.

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.