Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применяя к подынтегральной функции формулу редукции получим

Пример Найти интеграл .

Решение.

Пример Найти интеграл .

Решение. Выразим тангенс через секанс с помощью соотношения . Тогда интеграл принимает вид

Поскольку (см. пример 9), а интеграл является табличным и равен , то получаем окончательный ответ в виде

7 Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца.

Решение. Обозначим радиусы окружностей, ограничивающих кольцо, через  и , . Поместим полярный радиус системы координат в центре кольца. Тогда уравнения окружностей примут вид  и . Поверхностная плотность в любой точке кольца равна .

Масса кольца по формуле (3.9) равна

.

Пусть в области G задана  - аналитическая функция. Утверждается, что мнимая часть этой аналитической функции определяется до постоянного слагаемого

Док-во:

, ч.т.д.

5) Пусть в области G задана аналитическая функция , (x,y)ÎG. Тогда линии  и , называющиеся линиями уровня, ортогональны.

Док-во:

, ® линии уровня ортогональны.

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.