Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используем для преобразования интеграла соотношение . Получаем

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Используя соотношение , находим

Пример Вычислить .

Решение. Используем формулу редукции Следовательно, Интеграл является табличным и равен . (Он легко вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки .) В результате интеграл равен

Задания для аудиторной работы

1 Вычислить , где  – область, ограниченная линией .

2 Вычислить , где  – параллелограмм: , , , .

3 Вычислить , где  – область, ограниченная линией .

4 Вычислить , где  – область, ограниченная линиями   и .

5 Вычислить , где  – трапеция : , , , .

6 Найти площадь области , ограниченной линиями

, .

7 Найти массу пластинки , , , , если поверхностная плотность равна сумме координат точки.

8 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

9 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, , , .

10 Вычислить площадь области, ограниченной кривой

.

11 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

а) , , ,  (, );

б) , , ;

в) , , , , ;

г)  отсекаемого плоскостями , , .

12 Найти массу плоской пластинки  с плотностью  и ограниченной линиями:

а) , , , ;

б) , , , , ;

в) , , , ,

.

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.