Дифференцирование и интегрирование

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Исследование функций с помощью производных

Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной.

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки заданной функции:  при  и при . Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек нет. Выясним, какой знак имеет производная   в окрестности каждой из точек   и : при  и при  , при  . Это значит, что слева от точки  производная  отрицательна, справа положительна, слева от точки  производная положительна, справа отрицательна. В каждой из этих точек функция непрерывна (так как дифференцируемость функции означает её непрерывность). Поэтому на основании теоремы 23.1 можно сделать вывод, что в точке  функция имеет минимум, , в точке  функция имеет максимум, .

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки: при  , при  , при  функция производной не имеет. Таким образом, единственной критической точкой является точка . Так как слева от этой точки производная отрицательна, справа положительна, в самой же этой точке функция непрерывна, то в этой точке функция имеет минимум, при этом .

Пример. Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Найдём критические точки:  при . Так как функция дифференцируема на всей действительной оси, то других критических точек нет. Производная  положительна и слева, и справа от точки , в самой этой точке функция непрерывна (в силу дифференцируемости), поэтому в этой точке функция не имеет экстремума.

В ряде случае исследование знака производной  слева и справа от критической точки оказывается затруднительным. Однако если в этой критической точке функция  имеет равную нулю первую производную (то есть эта точка является стационарной) и, кроме того, имеет отличную от нуля вторую производную, то можно указать следующее достаточное условие наличия в данной точке локального экстремума.

Теорема 23.2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция  имеет в стационарной точке c отличную от нуля вторую производную. Тогда функция  имеет в точке c максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Функция  является производной функции , поэтому, в соответствии с теоремой 16.1, функция   в точке c убывает при   и возрастает при . Поскольку по условию точка c является стационарной, т.е. , то убывание (возрастание) функции  в точке c означает, что найдётся такая окрестность точки c, в пределах которой  положительна (отрицательна) слева от точки  c и отрицательна (положительна) справа от точки c. Но тогда по

теореме 23.1 функция  имеет в точке c максимум (минимум).

Теорема доказана.

Пример Найти локальные экстремумы функции .

Решение. Функция определена для значений аргумента . Найдём критические точки:  при .

Производная непрерывна на всей области определения функции. Таким образом, единственной критической точкой является стационарная точка . Найдём вторую производную заданной функции: .

В точке   . Так как в точке  , то на основании теоремы 23.2 можно сделать вывод, что в этой точке функция имеет минимум, при этом .

Выполнение первого задания требует знания канонических уравнений кривых второго порядка и уравнения прямой линии на плоскости.

Решим типовую задачу.

  Задача 1. Фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы

. Эллипс проходит через точку . Составить уравнение этого эллипса.

 Решение. Обозначим через  и полуоси данной гиперболы, через  и  - полуоси искомого эллипса. Имеем ,


Механический и геометрический смысл производной