Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Пример Найти интеграл .

Решение. Перепишем интеграл в виде Преобразуем подынтегральное выражение с помощью соотношений Получаем

Пример Найти интеграл .

Решение. Делая замену u = cos x, du = − sin xdx и выражая синус через косинус с помощью формулы , получаем

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральное соотношение по формуле Следовательно, Тогда интеграл равен

Вычисление двойного интеграла путем сведения к повторному интегралу

Рассмотрим двойной интеграл по прямоугольнику

со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема 1 Пусть

1) для функции  в прямоугольнике  существует двойной интеграл ;

2) для каждого  из отрезка  существует определенный интеграл .

Тогда существует повторный интеграл  и справедливо равенство:

. (2.3)

Повторный интеграл  можно записывать в виде .

Если в теореме 1 поменять ролями  и , то существует повторный интеграл  и справедлива формула

. (2.4)

Пусть ,  непрерывные на отрезке  функции и  .

Область  называется элементарной относительно оси .

Область  называется элементарной относительно оси . Здесь функции  и  непрерывны на отрезке   и .

Теорема 2 Пусть

1) функция  определена в области , где  и  – непрерывные функции,  для любого  из отрезка ;

2) существует двойной интеграл ;

3) для каждого  из отрезка  существует определенный интеграл .

Тогда существует повторный интеграл  и справедливо равенство

. (2.5)

Если в теореме 2 поменять ролями  и , то существует повторный интеграл  и справедлива формула

. (2.6)

Если область интегрирования не удовлетворяет условиям теоремы 2 (прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках), то необходимо данную область разбить на части, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы 2, и сводить к повторному каждый из соответствующих интегралов.

Вопросы для самоконтроля

1 Что называется интегральной суммой функции ?

2 Какие суммы называются верхней и нижней суммой Дарбу?

3 Дайте определение двойного интеграла.

4 Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции двух переменных.

5 В чем суть критерия интегрируемости?

6 Перечислите свойства двойного интеграла.

7 Сформулируйте теорему о вычислении двойного интеграла в случае прямоугольной области.

8 Сформулируйте теорему о вычислении двойного интеграла в случае произвольной области.

9 Как вычислить двойной интеграл по области, не являющейся элементарной?

 

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.