Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Пусть u = cos x, du = − sin xdx. Тогда

Пример Вычислить .

Решение. Делая замену u = sin x, du = cos xdx и используя соотношение , получаем

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применив соотношения и , можно записать Вычислим интегралы в полученном выражении. Чтобы найти интеграл , сделаем замену u = sin 2x, du = 2cos 2xdx. Тогда Следовательно, исходный интеграл равен

Практическое занятие 4 Формула Грина

4.1 Формула Грина

4.2 Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

4.1 Формула Грина

Пусть в плоскости  задана замкнутая элементарная относительно оси  или  область , ограниченная замкнутым контуром .

Теорема 1 (формула Грина) Если функции  и  непрерывны вместе со своими частными производными  и  в области , то имеет место формула

, (4.1)

где контур  обходится в положительном направлении.

Формула Грина справедлива для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей. Формула Грина связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области.

Площадь области , ограниченной замкнутым контуром , с помощью формулы Грина вычисляется по формуле

. (4.2)

 

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.