Дифференцирование и интегрирование

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x)  дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим график этой функции (см. рис.3). Проведём в точке М(x0; y0) графика касательную MT. Угловой коэффициент этой касательной, tg α, равен производной (x0). Дадим аргументу x0 приращение ∆ x. Тогда ордината графика функции получит приращение ∆ y, а ордината касательной – приращение  ∆ yк. Из треугольника MAB видно, что ∆ yк = ∆ x tg α. Но  tg α = (x0). Поэтому ∆ yк = (x0) ∆ x = (x0) dx.

Но последнее выражение, (x0) dx, есть дифференциал dy функции y=f(x):

  dy =(x0)dx. Следовательно ∆ yк = dy. Итак, дифференциал функции y=f(x) в некоторой точке x есть приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, соответствующее приращению аргумента ∆ x.

Производные простейших элементарных функций.

Степенная функция y=xα. Область определения x зависит от значения показателя α.

В случае целочисленного показателя, а также в том случае, когда ,  где m – целое нечётное число, .  Если же , то  (если при этом α > 0, то допускается  x=0).

Производная этой функции ( xα=. В частности, .

Показательная функция y = ax, a > 0, a ≠ 1.

Производная этой функции ( ax= ax ln a, в частности, ( ex= ex.

Логарифмическая функция y = logax,  a > 0, a ≠ 1.

Производная этой функции (logax, в частности, ( ln x=.

Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x ( x ≠ k π+ ), y = ctg x

 ( x ≠ k π ).

Производные этих функций:

  ( sin x= ,  ( cos x= , ( tg x=, ( ctg x=.

Обратные тригонометрические функции y = arcsin x (),

 y = arccos x(), y = arctg x, y = arcctg x.

Производные этих функций:

( arcsin x

( arcos x,

( arctg x,  ( arcctg x

В математике и приложениях встречаются гиперболические функции:

гиперболический синус – sh x =,

гиперболический косинус – ch x =

гиперболический тангенс – th x =,

гиперболический котангенс – cth x =.

Производные этих функций:

( sh x= ch x, ( ch x= sh x, ( th x=, ( cth x= ( x ≠ 0 ).

Теорема о базисном миноре. Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Механический и геометрический смысл производной