Дифференцирование и интегрирование

Поверхностные и кратные интегралы примеры

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0:

Функция является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:

вида: F(x, y, y/ ,y//,..., y(n)) = 0. (1.1).

Пример Показать, что

Решение. Рассмотрим сначала следующий степенной ряд: Данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем x. Поэтому, он сходится при |x| < 1. Его сумма равна . Подставляя − x вместо x, получаем Таким образом,

Задания для домашней работы

1 Проверить, зависят ли следующие криволинейные интегралы от пути интегрирования:

а) ;

б) .

2 Применив формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , где  – контур прямоугольника с вершинами , , , .

3 Вычислить криволинейный интеграл, предварительно определив функцию , соответствующим полным дифференциалом которой является подынтегральное выражение:

а) ;

б) .

Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
Механический и геометрический смысл производной