Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Разложим знаменатель на множители: Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями чтобы определить неизвестные коэффициенты из системы линейных уравнений. Следовательно, Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде Окончательно находим

Пример Вычислить интеграл . Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида

Решение. Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, учитывая что знаменатель имеет кратный корень 3-го порядка: Определим неизвестные коэффициенты. Получаем систему уравнений Следовательно, Исходный интеграл равен

 

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Поскольку - несократимый квадратный трехчлен, выделим в знаменателе полный квадрат: Найдем полученный интеграл с помощью формулы редукции Получаем ответ:

Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами с помощью вычетов. Лемма и теорема.

Лемма. Пусть ф-ция f(z) явля-ся анал. в верхн. полупл Im(z)>0 всюду за искл. конечн. числа изолир особых точек и существ. такие полож чила R0, M и δ что для всех точек верх полупл, удовл услов |z|>R0 имеет метсо  тогда (*) где С’R –полуокр-ть |z|>R, Imz>0; действит, т.к. где ds – дифф-л длины дуги кривой, и в силу усл леммы при R>R0 имеем  что и доказывает лемму.

Зам1 если усл леммы вып в сект φ1<z<φ2 то форм (*) имеет метсо при интегр по дуге С’R окр-ти, леж в дан сект.

Зам2 Усл леммы очев будут вып, если f(z) явл-ся аналит в окр-ти беск удал точки и z=∞ - нуль не ниже 2 пор ф-ции f(z). Тогда f(z)=C-2/z2 + C-3/z3 +… = φ(z)/z2 причем |φ(z)|<M откуда и след  при δ=1

Трм Пусть ф-ция f(x) заданная на всей действ оси м.б. аналит продолж на Imz ≥ 0 причем ее анал прод f(z) удовл всем усл леммы и не имеет ос точек на дкйств оси. Тогда сущ несобст инт перв рода и (**) 

Д-во По усл трм функция f(z) в верхн полупл имеет кон чило осб точек zk причем | zk|<R0. рассм замк конт сост из отр оси [-R,R] (R>R0) и полуокр С’R |z|=R в верх полупл. В силу осн трм теор выч.  т.к вып условия леммы то предел второго слаг при R→∞ равен нулю а прав часть при R>R0 от R не зав. Отсюда след, что пред перв слаг сущ и его знач опр-ся форм (**) Трм док! Трм имеет место когда f(x) анал прод, как в верх, так и в нижн полупл, главное, чтоб ан прод удовл усл леммы.

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.