Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Интегрирование рациональных функций

Пример Найти интеграл .

Решение. Разложим знаменатель в подынтегральном выражении на множители: Далее представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей Определим коэффициенты: Следовательно, Отсюда находим Теперь вычислим исходный интеграл

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Перепишем знаменатель рациональной дроби в следующем виде: Поскольку полученные множители являются несократимыми квадратичными функциями, то подынтегральное выражение представляется в виде Определим неизвестные коэффициенты. Получаем Следовательно, Интегрируем каждое слагаемое и находим ответ.

Аналитическая зависимость интеграла от параметра.

Пусть дана функция , и . Или .

-кусочногладкая кривая.

1) Пусть  -аналитическая в обл. G для .

- непрерывная по совокупности двух аргументов-

 является аналитической функцией от z в обл. G

2)

Доказательство:

Пусть ,

Продифференцируем по x и y:

Из условия Коши-Римана :

Найдем производную:

 

Физические приложения двойных интегралов

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.