Изменить порядок интегрирования

Вычислить интеграл Задачи и примеры

Интегрирование рациональных функций

Пример Вычислить интеграл .

Решение.

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов: Определим ы: Следовательно, Получаем Интеграл, соответственно, равен

Пример Найти интеграл .

Решение. Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей. Найдем неизвестные коэффициенты. Отсюда получаем Подынтегральное выражение представляется в виде Исходный интеграл равен

Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

Теорема Коши для односвязной области: если f(z) является аналитической функцией в односвязной области G ограниченной кусочно-гладким контуром с и f(z) непрерывна в замкнутой области G, то .

Доказательство:

т.к.  и  по условию Коши-Римана.

Теорема Коши для многосвязной области: пусть f(z) аналитическая функция в многосвязной области G ограниченной кусочно-гладким контуром с и f(z) непрерывна в замкнутой области, тогда .

Доказательство: проведем гладкие кривые l1,…,ln, соединяющие внешний контур C0 с контурами C1,…Cn, тогда область ограниченная кривыми и C0,…Cn кривыми l1,…,ln, проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается односвязной. Тогда по первой теореме  (интегралы по вспомогательным кривым l1,…,ln не влияют на конечный интеграл).

Следствие:

Физические приложения двойных интегралов

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :