Вычислить интеграл Задачи и примеры

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ). Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

Чтобы вычислить интеграл вида , где R - рациональная функция, используется подстановка . Аналогично, для вычисления интеграла вида , где R - рациональная функция, используется подстановка . Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции. Для вычисления интеграла вида , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы

Определение аналитического продолжения. Продолжение соотношений с действительной оси. Полная аналитическая функция.

Пусть f1(z) – аналитическая в области G1; f2(z) – аналитическая в области G2

G1∩G2=G#0; f1(z)=f2(z) в G

  f1(z) в G1 

Тогда F(z)= f2(z) в G2

 f1(z)=f2(z) в G

F(z) – аналитическая в G1 объединение G2

F(z) – аналитическое продолжение f1(z) в область G2 или f2(z) в область G1

Определение:

Пусть:

1)f: [a,b]→R

2)в GCC существует аналитическая функция f(z): G→C

3)f(z) на [a,b] совпадает с f(x)

Тогда f(z) называется аналитическим продолжением функции f(x)c[a,b] в области G.

;  , ez – продолжение ex в С плоскость

; , sinz – продолжение sinx в С плоскость

Теорема: Пусть F(W1,W2…Wn) – функция по n комплексным переменным и F является аналитическим продолжением по каждой переменной Wi в области Di c C (i=1,n). Кроме того,  - непрерывно по совокупности переменных W1,W2…Wn в области D=D1*D2*…*Dn; [a,b]ЄD, тогда из соотношения F(W1(x),W2(x)…Wn(x))=0 на [a,b]→ F(W1(z),W2(z)…Wn(z))=0 в области D.

 

Во втором задании требуется привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, выполнив последовательно поворот, а затем параллельный перенос координатных осей.

 Задача 2. Дано уравнение кривой второго порядка . Выполнив поворот и параллельный перенос координатных осей, получить каноническое уравнение кривой и построить ее в исходной системе координат.

 Решение. Выполняем поворот осей по формулам ; . Подставим эти выражения для  и  в исходное уравнение и выделим коэффициент при :