Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§8. РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задачи для самостоятельной подготовки

  Решить уравнения:

а) 2y¢ = x + lny¢; д) e-y(1 + y¢) = 1;

б) 2xy¢ - y =Siny¢; е) xy¢ = y(lny + lnx);

в) y¢2 - yy¢ + ex = 0; ж) (x2 + y)dxxdy = 0;

г) x2y¢2 –2(xy - 2)y¢ + y2 = 0; з) y = y¢(1 + y¢Cosy¢).

 

§9. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

  1. Если дифференциальное уравнение имеет вид F(y, y¢, y¢¢,… …, y(n)) = 0, т.е. не содержит явно независимой переменной, то порядок уравнения можно понизить с помощью замены у¢ = р. Тогда р = р(у) будет новой искомой функцией, а у – новой независимой переменной. Порядок уравнения при этом понижается на единицу:

,

и т.д.

 

Задача 14.

 Решить уравнение yy¢¢ + y¢2 = 0.

  Решение. В уравнении отсутствует х. После замены у¢ = р получим уравнение ур¢р + р2 = 0 => yp¢ + p = 0. Отсюда и, следовательно, . Возвращаясь к у¢, получим  или ydy = C1dx. Общее решение этого уравнения будет иметь вид y2 = C1x + C2.

  Замечание. В процессе решения пришлось делить обе части уравнения на р и на у. При этом могло быть потеряно решение, соответствующее р = 0, т.е. у = С и решение у = 0. Этого не произошло только потому, что оба решения содержатся в общем решении: первое при С1 = 0, второе – при С1 = С1 = 0.

Задача 15.

  Решить уравнение y¢¢2 = y¢ + 1.

  Решение. В данном уравнении отсутствует у. Обозначим

z = y¢, тогда для функции z(x) получим уравнение z¢ = z + 1 с разделяющимися переменными

Отсюда получим

Решение имеет вид y(x) = (C1 + x)3/12 – x + C2.

 


Задачи для самостоятельной подготовки

  Решить уравнения:

а) y¢¢¢y¢2y¢¢ = 0; г) xy¢¢y¢;

б) yy¢¢ – 2yy¢lny = y¢2; д);;

в) y¢¢¢y¢¢2; е) yy¢¢ = y¢ + y¢2.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка  называется однородным, если для его правой части при любых  справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция  - однородная нулевого измерения.

Решение. 

 ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция  - однородна и, наоборот, любая однородная функция  нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение   (4.1)

в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством  при всех , называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду  (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим:  или  или .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной замены  дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции  - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

 и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.

 

Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .

Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Инженерная графика

 

Сопромат