Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§7. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

  а) Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде, не разрешённом относительно производной:

F(x, y, y¢) = 0 (*)

  Если уравнение (*) можно решить относительно производной, то его решение находится одним из вышеописанных способов.

  В противном случае может быть использован метод введения параметра, который позволяет получить решение уравнения (*) в параметрическом виде. Но для этого необходимо, чтобы уравнение можно было разрешить относительно x или y.

  1. Пусть уравнение (*) можно разрешить относительно у, т.е. записать его в виде y = f(x, y¢). Будем считать y¢ параметром.Тогда

у¢ = р, y = f(x, p) и остаётся найти зависимость х от того же параметра р. С этой целью используется известное равенство dy = y¢dx, в которое вместо dy подставляем его выражение, учитывающее, что

y = f(x, p), т.е. dy = fx¢dx + fy¢dp, где вместо у¢ записываем р. Тогда получим уравнение

fx¢dx + fр¢dp = pdx

или

(fx¢ - р)dx + fр¢dp = 0,

из которого находим х = х(р). Формула Тейлора. Степенные ряды

  2. Пусть уравнение (*) можно разрешить относительно х, т.е. записать в виде x = f(y, y¢). Аналогично предыдущему, полагаем

у¢ = р. Тогда x = f(y, p) и из равенства dy = y¢dx получаем уравнение относительно функции у = у(р):

dy = p(fy¢dy + fp¢dp).

Задача 12.

  Решить уравнение x = y¢ 3 + y¢.

  Решение. Введём параметр р = у¢. Отсюда х = р3 + р,

dx = (3p2 + 1)dp. Подставив x, dx, y¢ = p в известное соотношение

dy = y¢dx, получим дифференциальное уравнение dy = p(3p2 + 1)dp для определения у как функции, зависящей от параметра р.

  Интегрируя, получим . Так как х = р3 + р, то однопараметрическое семейство кривых

х = р3 + р

, p Î R

является решением задачи.

  б) Решение y = j(x) уравнения F(x, y, y¢) = 0 называется особым, если каждая точка кривой y = j(x) является точкой разветвления интегральных кривых. Так как в каждой точке кривой

y = j(x) теряется единственность решения, то условие разветвления будет иметь вид ; учитывая, что F(x, y, y¢) = 0, исключая y¢, получим j(x, y) = 0. Кривая j(x, у) = 0 называется дискриминантной кривой. Следующим шагом является проверка того факта, что эта кривая является решением.

 

Задача 13.

 Найти особое решение уравнения

F(x, y, y¢) = xy¢ 2 – 2yy¢ + x = 0.

  Решение. Вычислим  Отсюда следует, что функции у = + х – дискриминантные кривые. Проверим, что у = + х является решением, подставляя в уравнение

x[(+ х)¢]2 - 2(+ х) (+ х)¢ + x = 0, "x Î R.

 

Задачи для самостоятельной подготовки

а)  д)

б)  е)

в)  ж)

г)  з)

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида  (3.1)

или уравнение вида  (3.2)

Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:

 ;

Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :

, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):   . (3.3)

Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример.

Решить уравнение: .

Решение.

Разделяем переменные:

 .

Интегрируя, получаем 

Далее из уравнений  и  находим x=1, y=-1. Эти решения – частные решения.

 

Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .

Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Инженерная графика

 

Сопромат