Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

  Линейное уравнение первого порядка y¢ + a(x)y = b(x) имеет решение

,

выраженное через неопределённые интегралы.

  Задача Коши y¢+a(x)y = b(x), y(x0) = y0 имеет решение

.

Обратите внимание на переменные интегрирования!

Задача 6.

 Решить уравнение

 

 Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной функций при

  Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид

Находя интегралы, получим

Общее решение линейного уравнения может быть найдено также с помощью метода вариации произвольной постоянной. В этом случае сначала ищется решение соответствующего однородного уравнения.

Оно имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения ищется в таком же виде,

но произвольную постоянную заменяют функцией C = C(x).

 

Задача 7.

 Решить уравнение

(*)

  Решение. Сначала найдём общее решение соответствующего

однородного уравнения y¢ + 2xy = 0: y = . Общее решение

уравнения (*) будем искать в виде

 (**)

Подставив эту функцию и её производную в уравнение (*), получим дифференциальное уравнение относительно С(х): С(х) = 1. Отсюда С(x) = x + C1, где С1 – произвольная постоянная. Подставляя функцию С(х) в (**), получим общее решение уравнения (*).

 

Задачи для самостоятельной подготовки

а) Решить задачу Коши (начальную задачу)

y¢ = 4x + 2y, y(0) = 1;

б) Решить уравнение, линейное относительно переменной х

(2ey - x)y¢ = 1.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:

, (7.1)

где P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции от x. Если функция , то уравнение (7.1) имеет вид:  (7.2)

и называется линейным однородным уравнением, в противном случае  оно называется линейным неоднородным уравнением.

Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:

 (7.3)

Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:

.

Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:

или .

Откуда , где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет  (7.4)

Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Этот важный вывод выделим в виде теоремы.

 

Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .

Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Инженерная графика

 

Сопромат