Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  Однородные уравнения могут быть записаны в виде . Эти уравнения решаются подстановкой y = t×x, где t = t(x) является функцией переменной x.

 

Задача 5.

 Решить однородное уравнение

.

  Решение. Полагаем y = t×x, t = t(x) - функция x.

y¢ = t + t¢x. Подставляя в уравнение это выражение для y¢, получим

.

Полученное уравнение относительно t является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его:

.

Пусть x = lnt, тогда

.

Вычислим интеграл подстановкой . Тогда

x = 2arctgu, ; .

Подставляя эти выражения в интеграл, получим

.

Возвращаясь к старым переменным, найдём решение:

.

 

 

Задачи для самостоятельной подготовки

Решить однородные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Обобщенное однородное уравнение.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется обобщенным однородным, если удается подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k‑го измерения, dx и dy – соответственно нулевого и (k-1)-го измерений. Например, таким будет уравнение . (6.1)

Действительно при сделанном предположении относительно измерений

x, y, dx и dy члены левой части  и dy будут иметь соответственно измерения -2, 2k и k-1. Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k: -2 = 2k = k-1. Это условие выполняется при k = -1 (при таком k все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение -2). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщенным однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где z – новая неизвестная функция. Проинтегрируем указанным методом уравнение (6.1). Так как k = -1, то , после чего получаем уравнение .

Интегрируя его, находим , откуда . Это общее решение уравнения (6.1).

 

Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .

Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Инженерная графика

 

Сопромат