Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§17 ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ

  Если в уравнении у¢ = f(x, y), y(0) = 0 функция f непрерывна по у, то решение дифференцируемо по у0.

 

Задача для самостоятельной подготовки

  Укажите область непрерывности и область дифференцируемости по m

 

 

§18 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

 Нелинейную систему дифференциальных уравнений решают или методом исключения неизвестных, или путём нахождения интегрируемых комбинаций. При решении уравнений вторым методом полезно следующее свойство равных дробей:

если  то

 

Задача 31. Производные функций, заданных параметрически. Пусть зависимость у от х задана через параметр t: , обе эти функции дифференцируемы, и для первой из них существует обратная функция . Тогда явная зависимость у от х выражается формулой. Находим производную: . Здесь мы воспользовались результатами разделов 6.5.5. Производная сложной функции и 6.3. Производная обратной функции. То же выражение можно получить из 6.8.2.

  Решить систему

  Решение. Первые две дроби дают первый интеграл

Чтобы найти второй первый интеграл, возьмём следующую пару дробей  и подставим в функцию  получим уравнение , которое проинтегрируем:

Так как  то второй первый интеграл имеет вид

Первые интегралы С1 и С2 дают решение системы в форме первых интегралов.

 

Задачи для самостоятельной подготовки

  Решить систему:

а)  

б)

в)

 

 

Рассмотрим пример.

Пример. Найти общий интеграл уравнения: .

Решение. Здесь  

Тогда . Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функция u(x,y), частные производные которой соответственно по x и y равны M(x,y) и N(x,y):

 . Интегрируем первое из двух соотношений по x:

.

Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной :

.

Откуда  и . Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является: .

При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция. Например, в интеграле  за u надо взять , так как , то есть после дифференцирования получается дробь.

Инженерная графика

 

Сопромат