Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§16. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

  Фазовая кривая системы уравнений   - это проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. Фазовая траектория является решением уравнения  которое можно решить методом изоклин. Для построения фазовой траектории уравнения второго порядка  необходимо свести последнее к системе  

 

Задача 28.

 Начертить фазовую кривую уравнения

  Решение. Сведём уравнение к системе    Уравнение для фазовой кривой имеет вид  Решая его, получим ydy = 4xdx Þ y2/2 – 2x2 = C. Фазовые траектории  - это семейство гипербол, изображённых на рис. 3.

рис. 3

Производные функций, заданных параметрически и неявно.

 

Задача 29.

 Начертить фазовую траекторию уравнения

  Решение. Сведём уравнение к системе  

Фазовые траектории – это решение уравнения   Решая последнее уравнение, получим

ydy = -2x3dx Þ y2/2 + x4/4 = C.

Семейство кривых y2/2С + x4/4С = 1 похоже на семейство эллипсов. Направление движения траектории определено по исходной системе.

рис.4

Задача 30.

 Начертить фазовые траектории уравнения

  Решение. Сведём к системе Уравнение фазовых кривых  Его особые точки у = 0, х = pk,

k = 0, ±1, … Фазовые кривые изображены на рис. 5.

рис. 5

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.

Например, уравнение xdy+ydx=0  есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество  (9.2).

Доказательство.

Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что  и .

Действительно, поскольку ,то

  (9.3) , где  - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) по y:

. Но , следовательно, .

Положим  и тогда .

Итак, построена функция , для которой , а .

 

При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция. Например, в интеграле  за u надо взять , так как , то есть после дифференцирования получается дробь.

Инженерная графика

 

Сопромат