Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§14. УСТОЙЧИВОСТЬ

 1. Исследование решения на устойчивость по первому приближению основано на теореме Ляпунова. Пусть имеется система, записанная в векторной форме

 Î Rf :

Точка  , такая, что  называется стационарной точкой системы. Очевидно, что  - решение этой системы. Вопрос об устойчивости этого решения водится к следующему. Разложим в ряд по формуле Тейлора в точке:

Односторонние производные. Пусть х - правый или левый конец [a,b] отрезка, на котором определена функция. Тогда при вычислении предела отношения  в точке а мы можем рассматривать только случай , в точке b - только случай , т.е. искать односторонние пределы.

где - матрица функции Якоби в ; если собственное значения матрицыимеет только отрицательные вещественные части, то  ассимптотически устойчиво. Если хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то решение  неустойчиво.

  2. Исследование устойчивости решения дифференциального уравнения n-ого порядка сводится к условию отрицательности всех вещественных частей корней характеристического уравнения.

 Последнее же условие проверяется по критерию Рауса-Гурвица.

Непосредственное интегрирование Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил итождественных преобразований называют непосредственным интегрированием

Задача 25.

 Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение системы:

 

  Решение. Найдём матрицу Якоби функции f в точке (0,0):

 -  .

Собственные значения этой матрицы равны l1 = -2 +,

l2 = -2 -и являются отрицательными. Следовательно, нулевое решение асимптотически устойчиво.

 

Задача 26.

 Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения

y¢¢¢ + 2y¢¢ + 2y¢ + 3y = 0.

  Решение. Составим матрицу Гурвица:

  =  

Главные миноры этой матрицы положительны, следовательно, корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, нуль устойчив.

§15. ОСОБЫЕ ТОЧКИ

  1. Особой точкой системы   называется точка (х0, у0), в которой Р(х0, у0) = Q0, у0) = 0. Если функции P и Q дважды дифференцируемы, то локально, вблизи точки (х0, у0), интегральные кривые этой системы ведут себя подобно интегральным кривым линейной системы

 ,

где х1 и у1 – новые координаты после переноса, т.е. х1 = х – х0,

у1 = у – у0, a, b, c, d – коэффициенты матрицы Якоби.

 

Задача 27.

 Исследовать особую точку, начертить проекции интегральных кривых на плоскости (х, у) (см. рис. 2)

  Решение. Точка (0, 0) – единственная особая точка. Матрица имеет вид  , её собственные значения

имеют отрицательные вещественные части. Следовательно, точка (0, 0) – устойчивый узел.

Пример. Найти общее решение уравнения:  (8.2)

Решение.

Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем .

Будем искать решение уравнения в виде .

Тогда .

В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы . Откуда . Тогда для функции u(x) будем иметь следующее уравнение:

 или ,

которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его ,

 

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: , y(x)=0.

 

При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция. Например, в интеграле  за u надо взять , так как , то есть после дифференцирования получается дробь.

Инженерная графика

 

Сопромат