Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

 

§12. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

  1. Для отыскания решения краевой задачи

Ly= a0(x)y¢¢ + a1(x)y¢ + a2(x)y = f(x), x0 £ x £ x1; (*)

ay¢(x0) + by(x0) = 0; gy¢(x1) = dy(x1) = 0 (**)

надо подставить общее решение неоднородного уравнения

уон = уоо + учн = С1у1(х) + С2у2(х) + учн(х),

где у1, у2 – два линейно незваисимых решения однородного уравнения, учн – частное решение неоднородного уравнения, в краевые условия и определить константы С1 и С2. Найти эти константы из краевых условий (**) не всегда удаётся и поэтому краевая задача (*), (**) не всегда имеет решение.

 2. Если краевая задача неизменна, кроме функции f(x), которая может изменяться от задачи к задаче (функция f(x) имеет смысл вынуждающей силы источника и т.п.), то решение краевой задачи (*), (**) выгодно записывать в форме

где G = G(x,s) – функция Грина однородной задачи f(x) = 0 (которая, в свою очередь, не всегда существует). Алгоритм нахождения

G = G(x,s) следующий:

Вывод формул производных функций  и .

Теор.6.1. Пусть для f(x): 1. выполняются условия Теор.5.6.5 об обратной функции ( непрерывность и строгая монотонность на отрезке [a,b]). 2. в точке х0 существует неравная нулю производная f'(х0). Тогда обратная функция х = g(у) в точке у0= f(х0) также имеет производную, равную .

  а) найти два (у1(х) и у2(х)) нетривиальных решения неоднородного уравнения (*), причём у1(х) должно удовлетворять первому, а у2(х) – второму краевым условиям;

  б) функция Грина G(x,s) ищется в виде

G(x,s) = a(s)y1(x),  x0 £ x £ s,

  b(s)y2(x), s £ x £ x1.

 

где функции a(s) и b(s) определены из системы

by2(s) = ay1(s); by2¢(s) = ay1¢(s) + 1 / a0(s).

  3. Краевая задача на собственное значение имеет вид

Ly= a0(x)y¢¢ + a1(x)y¢ + a2(x)y = ly,

ay¢(x0) + by(x0) = 0; gy¢(x1) = dy(x1) = 0.

Собственным значением этой задачи называется число l, при котором краевая задача имеет нетривиальное решение, которое, в свою очередь, называется собственной функцией задачи.

 

Задача 22.

Найти решение краевой задачи

у¢¢ + у = 1, у(0) = 0, у(p/2) = 0.

Решение. Найдём уон(х) уравнения у¢¢ + у = 1. Оно равно уон(х) = уоо(х) + учн(х), где уоо(х) = C1eix + C1*e-ix = aCosx + bSinx,

a, b Î R, yчн = 1. Следовательно, уон = aCosx + bSinx + 1.

Подставим уон в краевые условия уон(0) = 0, уон(p/2) = 0, получим

а = -1, b = -1. Окончательно решение примет вид

y(x) = – Cosx – Sinx + 1.

Задача 23.

Построить функцию Грина и записать решение краевой задачи через эту функцию:

у¢¢ + у¢ = arcsinx, у(0) = 0, у¢ (1) = 0.

Решение. Найдём согласно алгоритму у1(х) и у2(х). Для этого найдём общее решение однородного уравнения уоо(х): уоо(х) = C1 + C2e. Функция у1(х) должна иметь вид у1(х) = C1 + C2e, где C1 и C2 такие, что удовлетворяется первое краевое условие. Это имеет место, если, например, C1 = 1, C2 = –1, т.е . у1(х) = 1 – e. Функция у2(х) имеет тот же вид у2(х) = C1 + C2e, но C1 и C2 такие, что у2¢(1) = 0, т.е. C2 = 0. Следовательно, у2(х) = С1 = 1. Функция Грина имеет вид

G(x,s) = a(s)(1-е-х),

  b(s).

 

где функции a(s) и b(s) находятся из системы

b(s) = a(s)(1-е-s), a(s) = е-s;

ab(s) = a(s)е-s + 1, Þ b(s) = 1-е-s.

 

Функция Грина имеет вид

G(x,s) = еs(1+е-х), x0 £ x £ s,

  1 – еs, s £ x £ x1.

 

Решение  краевой задачи имеет вид

 

Задача 23.

Решить краевую задачу на собственные значения:

у¢¢ = lу, у(0) = 0, у(1) = 0.

Решение. Общее решение уравнения у¢¢ = lу имеет вид Подставив уоо(х) в краевые условия, получим систему уравнений для коэффициентов С1 и С2:

С1 – С2 = 0,

С1exp(e) + С2exp(-e) = 0.

 

Из линейной алгебры известно, что однородная система уравнений имеет нетривиальные решения, если детерминант этой системы равен нулю:

1 1 = 0 Þ exp(2e)

exp(e) exp(-e)

Последнее соотношение является уравнением для l. Решим его:

e2pki = 1, k = 0, ±1, ±2, …Þ 2e = 2pki.

Собственные значения равны lk = -p2k2 / e2. Собственные функции этой задачи находим по формуле

yоо = C1exp(pkix / e) + C2exp(-pkix / e)

и краевым условиям у(0) = у(е) = 0. Получим решение y(x) = Sin(pkx/e).

 

Задачи для самостоятельной подготовки

  Решить краевые задачи:

а) у¢¢ + у¢ = 1, y¢(0) = 0, y(1) = 1;

б) у¢¢ + у = xy¢(0) = 0, y(p/2) = 0;

в) у¢¢ = lyy(0) = 0, y¢(1) = 0.

Уравнение Бернулли.

Определение.

Дифференциальное уравнение вида , где , называется уравнением Бернулли.

Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на . В результате получим:  (8.1)

Введем новую функцию . Тогда . Домножим уравнение (8.1) на  и перейдем в нем к функции z(x): , т.е. для функции z(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительно y. При  добавляется решение y(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в § 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.

 

При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция. Например, в интеграле  за u надо взять , так как , то есть после дифференцирования получается дробь.

Инженерная графика

 

Сопромат