Курсовые
Черчение

Теплоэнергетика

Электротехника
Карта

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики Оглавление

§11. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

  Пусть у1(х) и у2(х) – два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка

a0(x)y¢¢ + a1(x)y¢ + a2(x)y = 0,

тогда справедлива формула Лиувилля

y1(x) y2(x) = C×exp(), y1¢(x) y2¢(x) 

 

Таким образом, зная, например, функцию y1(x), можно по этой формуле найти y2(x) и наоборот.

Задачи, приводящие к понятию производной.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение Dх (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции Dу=f(x+Dх)- f(x). Передел отношения приращение функции Dу к приращению аргумента Dх при Dх ®0 называется производной функции y=f(x) в точке х.

 Интеграл Дюамеля. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

a0(x)y¢¢ + a1(x)y¢ + a2(x)y = f(x), (*)

Подставим в это уравнение начальные данные (данные Коши):

у(х0) = 0, (**)

у¢0) = 0, (***)

тогда, оказывается, существует такая функция двух переменных G(x,t), 0£ t £ x, что решение задачи (*), (**), (***) можно найти по формуле

Выражение справа называется интегралом Дюамеля.

Алгоритм построения функции G(t,x).

  Шаг 1. Функция G(t,x) имеет вид

G(t,x) = a(t)y1(x) + b(t) y2(x),

Здесь y1(x), y2(x) – два линейно независимых решения однородного уравнения, т.е. при f(x) = 0; причём функция y1(x) удовлетворяет условию (**), а функция y2(x) удовлетворяет условию (***).

Знакопеременные ряды Примеры решения задач математика

  Шаг 2. Функции a(t), b(t) находятся из условий

G(t,t) = 0,

Из этих условий получается система для определения a(t) и b(t):

a(t)y1(t) + b(t)y2(t) = 0,

a(t)y1¢(t) + b(t)y2¢(t) =

  Пример. Найти интеграл Дюамеля для уравнения

y¢¢ + w2y = b(t),

y(0) = y¢(0) = 0.

  Решение. Два решения уравнения имеют вид y1 = Sinbt,

y2 = Cosbt, причём y1 удовлетворяет (**), а y2 – (***).

Функция G(x,t) имеет вид

G(x,t) = a(t)y1(x) + b(t) y2(x), 0£ t £ x.

Найдём a и b из системы

aSinwt + bCoswt = 0,

awCoswt - bwSinwt = 1.

Решая систему, получим

.

Отсюда

Следовательно, решение задачи имеет вид


Задача 21.

 Зная два частных решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, найти его общее решение:

(x2-1)y¢¢ + 4xy¢ + 2y = 6x,

yчн1 = x, yxy2 = (x2 +x + 1) / (x + 1). (*)

  Решение. Общее решение неоднородного уравнения уон имеет вид уон = уоо + учн, где уоо – общее решение однорордного уравнения, учн – частное решение неоднородного уравнения. В свою очередь, уоо = С1у1 + С2у2, где у1 = у1(х) и у2 = у2(х) – два линейно независимых решения однородного уравнения. Таким образом, уон можно записать в виде уон = С1у1(х) + С2у2(х) + х; здесть в качестве учн выбрано учн1 = х (можно было выбрать и учн2). Найдём у1(х) и у2(х). Так как учн1 и учн2 – два решения уравнения (*), то имеют место тождества

(x2 – 1) у¢¢чн1 + 4xу¢чн1 + 2учн1 = 6x;

(x2 – 1) у¢¢чн2 + 4xу¢чн2 + 2учн2 = 6x.

Вычитая из второго уравнения первое, получим для разности

V = yчн2 - yчн1, равенство (x2 – 1) V¢¢ + 4xV¢ + 2V = 0. Следовательно, разность V = yчн2 - yчн1 есть решение однородного уравнения, т.е. у1(х) можно взять равным V(x):

y1(x) = V(x) = (x2 +x + 1) / (x + 1) – x = 1 / (x + 1).

Найдём у2(х), используя формулу Лиувилля:

y1 y2 = C×exp() Þ 1 / (х + 1) y=

y1¢ y2¢ (1 / (х + 1))¢ y2¢

= C×exp() Þ

для функции у2(х) получено уравнение первого порядка. Решим его, используя формулу из параграфа 5:

 

Задачи для самостоятельной подготовки

Найти общее решение дифференциального уравнения, зная одно его частное решение:

а) xy¢¢ + 2y¢ - xy = 0, yчн1 = ex/x;

б) x(x – 1)y¢¢ - xy¢ + y = 0, yчн1 = x;

в) x2ylnx - xy¢ + y = 0, yчн1 = x;

Интегрирующий множитель.

Если уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах и существует функция µ = µ(x,y), такая что после умножения на нее обеих частей уравнения получается уравнение

µ(Mdx + Ndy) = 0 в полных дифференциалах, т. е. µ(Mdx + Ndy)du, то функция µ(x,y) называется интегрирующим множителем уравнения. В случае, когда уравнение уже есть уравнение в полных дифференциалах, полагают µ = 1.

Если найден интегрирующий множитель µ, то интегрирование данного уравнения сводится к умножению обеих его частей на µ и нахождению общего интеграла полученного уравнения в полных дифференциалах.

Если µ есть непрерывно дифференцируемая функция от x и y, то .

Отсюда следует, что интегрирующий множитель µ удовлетворяет следующему уравнению с частными производными 1-го порядка:

   (10.1).

Если заранее известно, что µ= µ(ω), где ω – заданная функция от x и y, то уравнение (10.1) сводится к обыкновенному (и притом линейному) уравнению с неизвестной функцией µ от независимой переменной ω:

  (10.2),

где , т. е. дробь является функцией только от ω.

Решая уравнение (10.2), находим интегрирующий множитель

 , с = 1.

В частности уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x (ω = x) или только от y (ω = y), если выполнены соответственно следующие условия:

 

или

 .

 

При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция. Например, в интеграле  за u надо взять , так как , то есть после дифференцирования получается дробь.

Инженерная графика

 

Сопромат